準1級1次
\documentclass{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\newcommand{\s}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\e}{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\eq}{&=&}
\begin{document}
\begin{flushright}
@serenn\_FT
\end{flushright}
\section*{問題.1}
\[{}_7 C _2 \times 3^5 \times (-1)^2 = 5103\]
\section*{問題.2}
円:$x^2+y^2=r^2$の接点$(p,q)$における接線の方程式は$px+qy=r^2$である、これを示す。\\
まず、点$(p,q)$は明らかにこの円とこの接線を通る。また、この接線と円の中心、つまり原点との距離をdとすると
\[d = \frac{|r^2|}{\sqrt{p^2+q^2}} = |r|\]
したがって接線の方程式は$px+qy=r^2$であることが分かる。\\
さらに、円の中心が$(a,b)$、つまり円の方程式が$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$のときには接線の方程式は$(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2$となる。\\
以上より$l_1$の方程式は
\[(1-5)(x-5)+(6-3)(y-3)=25\]
であり、$l_2$の方程式は
\[(8-5)(x-5)+(7-3)(y-3)=25\]
以上を解くと$(x,y)=(4,10)$
\section*{問題3.}
\subsection*{解法1}
点Dが平面$\alpha$上にあるとき
\[\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}} + (1-s-t) \overrightarrow{\mathrm{OC}}と表せる。\]
よって
\[\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(-3s-2t+2,8s+7t-6,-5s-4t+5)\]
したがって
\s
-3s-2t+2 \eq 3 \\
8s+7t-6 \eq k \\
-5s-4t+5 \eq 2
\e
以上を解くと$(s,t,k)=(-5,7,3)$
\newpage
\begin{flushright}
@serenn\_FT
\end{flushright}
\subsection*{解法2}
点Dが平面$\alpha$上にあるとき
\[\overrightarrow{\mathrm{AD}} = s \overrightarrow{\mathrm{AB}} + t \overrightarrow{\mathrm{AC}}と表せる。\]
よって
\[\overrightarrow{\mathrm{AD}} = (s+3t,-s-8t,s+5t)\]
したがって
\s
s+3t \eq 4 \\
-s-8t \eq k-2 \\
s+5t \eq 2
\e
以上を解くと$(s,t,k)=(7,-1,3)$
\section*{問題4.}
\subsection*{(1)}
$|z_1| = \sqrt{2} \ , \ |z_2| = 5 \sqrt{2}$より
\[\left|\frac{z_2}{z_1} \right| = \frac{|z_2|}{|z_1|} = 5\]
\subsection*{(2)}
$\mathrm{arg}z_1 = \frac{2}{5} \pi \ , \ \mathrm{arg}z_2 = \frac{3}{4} \pi$より
\[\mathrm{arg} \frac{z_2}{z_1} = \mathrm{arg}z_2 - \mathrm{z_1} = \frac{7}{20} \pi\]
\section*{問題5.}
\[(y-2)^2 = 4・(-9)x\]
\subsection*{(1)}
$(-9,2)$
\subsection*{(2)}
$x=9$
\newpage
\begin{flushright}
@serenn\_FT
\end{flushright}
\section*{問題6.}
\s
\int_0^{e-1} \ln (x+1)^\frac{1}{3} dx \eq \int_0^{e-1} \frac{1}{3} \ln (x+1) dx \\
\eq \frac{1}{3} \left[(x+1) \ln (x+1) - x \right]^{e-1}_0 \\
\eq \frac{1}{3}
\e
\section*{問題7.}
$5^2=25<64=4^3=2^6$より圧倒的に$5^{2x-1}と25^{x-2}$の支配力が大きい \\
よって
\s
\lim_{x \to - \infty} \frac{5^{2x-1} + 4^{3x-1}}{25^{x-2} + 2^{6x-1}} \eq \lim_{x \to - \infty} \frac{5^3 + \frac{4^{3x-1}}{5^{2x-1}}}{1 + \frac{2^{6x-1}}{25^{x-2}}} \\
\eq 125
\e
\newpage
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\end{flushright}
\section*{感想}
\subsection*{問題1.}
二項定理
\subsection*{問題2.}
接線の方程式知ってれば瞬殺
\subsection*{問題3.}
マジでどっちでも良いけど個人的に解法1が好み
\subsection*{問題4.}
知ってたら瞬殺だけど知らなくても計算すればOK
\subsection*{問題5.}
知ってるかどうかだけ
\subsection*{問題6.}
$\int \ln (ax+b) dx = \frac{ax+b}{a} \ln (ax+b) -x+C$
\subsection*{問題7.}
$x \to - \infty$になってることだけ注意
\end{document}
準1級2次
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\newcommand{\s}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\e}{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\eq}{&=&}
\begin{document}
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@serenn\_FT
\end{flushright}
\section*{問題1.}
$\mathrm{BC}=3 \ , \ \mathrm{CA}=4 \ , \ \mathrm{AB}=5$
\s
d_1 \eq \frac{|4a-c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
d_2 \eq \frac{|3b-c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
d_3 \eq \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \because c>0
\e
よって
$|4a-c| = 3k \ , \ |3b-c| = 4k \ , \ c = 5k \ (kは任意の自然数)$ \\
(i) \ $4a-c<0かつ3b-c<0$のとき \\
$4a-c=-3k \ , \ 3b-c=-4k \ , \ c=5k$ \\
これを解くと$(a,b,c)=(\frac{1}{2}k,\frac{1}{3}k,5k)$より$a:b:c=3:2:30$ \\
(ii) \ $4a-c<0かつ3b-c>0$のとき \\
$4a-c=-3k \ , \ 3b-c=4k \ , \ c=5k$ \\
これを解くと$(a,b,c)=(\frac{1}{2}k,3k,5k)$より$a:b:c=1:6:10$ \\
(iii) \ $4a-c>0かつ3b-c<0$のとき \\
$4a-c=3k \ , \ 3b-c=-4k \ , \ c=5k$ \\
これを解くと$(a,b,c)=(2k,\frac{1}{3}k,,5k)$より$a:b:c=6:1:15$ \\
(iv) \ $4a-c>0かつ3b-c>0$のとき \\
$4a-c=3k \ , \ 3b-c=4k \ , \ c=5k$ \\
これを解くと$(a,b,c)=(2k,3k,5k)$より$a:b:c=2:3:5$ \\ \\
以上より$(a,b,c)=(1,6,10),(2,3,5),(3,2,30),(6,1,15)$
\newpage
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\section*{問題2.}
\subsection*{(1)}
\s
E(X) \eq 2 \times \frac{5}{10} + 5 \times \frac{3}{10} + 10 \times \frac{2}{10} = \frac{9}{2} \\
E(X^2) \eq 2^2 \times \frac{5}{10} + 5^2 \times \frac{3}{10} + 10^2 \times \frac{2}{10} = \frac{59}{2} \\
V(X) \eq E(X^2) - \{E(X)\}^2 = \frac{59}{2} - \left(\frac{9}{2} \right)^2 = \frac{37}{4}
\e
\subsection*{(2)}
\[E(X)=E(Y)=E(Z)およびV(X)=V(Y)=V(Z)より\]
\s
E(2Y+3Z) \eq E(2Y) + E(3Z) = E(5X) = 5E(X) = \frac{45}{2} \\
V(2Y+3Z) \eq V(2Y) + V(3Z) = 4V(Y) + 9V(Z) = 13V(X) = \frac{481}{4}
\e
\newpage
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@serenn\_FT
\end{flushright}
\section*{問題3.}
まず、この極限が収束するか発散するかを確かめる。
\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\sqrt{5a_n + 6}}{a_n} = \sqrt{\frac{5}{a_n} + \frac{6}{{a_n}^2}}\]
$よってa_nが十分に大きいとき明らかに\frac{a_{n+1}}{a_n}<1であるためダランベールの収束判定法よりa_nは収束する$ \\
また、収束時$a_n = a_{n+1}$であるため
\[a_n = \sqrt{5a_n + 6}\]
としてこれを解くと$a_n=6$ \\
したがって
\[\lim_{n \to \infty} a_n = 6\]
\newpage
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\section*{問題4.}
\subsection*{(1)}
\[z^3+2az^2-3az-20a-64=(z-4)\{z^2+(2a+4)z+5a+16\}\]
\[z^2+(2a+4)z+5a+16=0の判別式をDとすると\]
\[\frac{D}{4} = (a+2)^2-(5a+16)=a^2-a-12<0より\]
\[-3<a<4\]
\subsection*{(2)}
2つの共役な解をそれぞれ$\alpha,\beta$とすると
\[z^3+2az^2-3az-20a-64=(z-4)(z-\alpha)(z-\beta)より\]
\s
\alpha + \beta + 4 \eq -2a \\
\alpha \beta + 4(\alpha + \beta) \eq -3a \\
4 \alpha \beta \eq -20a-64
\e
以上から$a$を消すように2式を適当に選ぶと
\s
\left(\alpha + \frac{5}{2} \right) \left(\beta + \frac{5}{2} \right) \eq \frac{49}{4} \\
\left|\alpha + \frac{5}{2} \right|^2 \eq \frac{49}{4} \because \alpha と \beta は共役 \\
\left|\alpha + \frac{5}{2} \right| \eq \frac{7}{2}
\e
よって$中心-\frac{5}{2}、半径\frac{7}{2}の円$
\newpage
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\end{flushright}
\section*{問題5.}
略(簡単すぎるというわけではなく、この手の問題が嫌いすぎる)
\newpage
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@serenn\_FT
\end{flushright}
\section*{問題6.}
\[\log 666^{666} = 666 \log 666 = 666 \log (2 \times 3^2 \times 37) = 666 \times (\log 2 + \log 3^2 + \log 37) \approx 1880.433684\]
\s
\log 2.7 \eq \log 27 - \log 10 = 0.431363 \\
\log 2.8 \eq \log 28 - \log 10 = 0.447158 \\
\e
\[1880+\log 2.7 < 1880.433684 < 1880 + \log 2.8より\]
\[2.7 \times 10^{1880} < 666^{666} < 2.8 \times 10^{1880}\]
よって桁数は1881桁、先頭の2桁の数は27
\newpage
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@serenn\_FT
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\section*{問題7.}
\subsection*{(1)}
\[\sin {2x} = a \sin xとすると\]
\[\sin x (2 \cos x - a) = 0\]
これを解くと
\[\sin x = 0 \ , \ \cos x = \frac{a}{2}\]
ここで題意を満たすためには
\[-1 < \frac{a}{2} < 1より\]
\[-2 < a < 2\]
\subsection*{(2)}
\s
S_1 \eq \int_0^\alpha (\sin {2x} - a \sin x) dx = \left(\frac{1}{2} a - 1 \right)^2 \\
S_2 \eq \int_\alpha^\pi (a \sin x - \sin {2x}) dx = \left(\frac{1}{2} a + 1 \right)^2
\e
\s
\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} \eq \left(1 - \frac{1}{2} a \right) + \left(1 + \frac{1}{2} a \right) \ \because -2<a<2より0<1 - \frac{1}{2} aかつ0<1 + \frac{1}{2} a \\
\eq 2
\e
\newpage
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@serenn\_FT
\end{flushright}
\section*{感想}
\subsection*{問題1.}
\noindent
場合分けはちゃんとしよう
\subsection*{問題2.}
\noindent
知ってるかどうか
\subsection*{問題3.}
\noindent
正負があまりにも自明なので正負の議論をすっ飛ばしたので良い子のみんなはちゃんと書こうね、むしろ調べなさいと書いてあるので発散と収束の議論をしないとまずそう、これもまあ自明ではあるけど
\subsection*{問題4.}
\noindent
(2)が1次2次含めて1番難しいと思われる、複素数平面の問題で$a$を消せって言われたうえに円となれば必然的にこういう解法になりそう \\
色々な解法がありそうだけど(特にゴリ押し)複素数平面苦手なので思いつかず......
\subsection*{問題5.}
\noindent
1級のときもこういう系は捨ててました、好きな人はめちゃくちゃ好きそう
\subsection*{問題6.}
\noindent
数字が不吉すぎる
\subsection*{問題7.}
\noindent
ひたすら計算するだけ、グラフはちゃんと書いて正負は間違えないようにしよう
\end{document}
数検1級1次
\documentclass{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
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\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{physics}
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\newcommand{\e}{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\eq}{&=&}
\begin{document}
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@serenn\_FT
\end{flushright}
\section*{問題1.}
この問題を言い換えると、ある自然数$y$において
\[65x = 79y + 3\]
が成立すればよい。この2元1次方程式の一般解は(略)
\[x = 79k-51 \ , \ y = 65k-42 \ \ (kは任意の整数)\]
よって題意より
\[k=1でx=28\]
\section*{問題2.}
題意より
\[\sin \alpha = - \frac{5}{13} \ , \ \cos \alpha = \frac{12}{13} \ , \ \sin \beta = \frac{3}{5} \ , \ \cos \beta = \frac{4}{5}とすると\]
\s
(与式) \eq \sin (\alpha + \beta) \\
\eq \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \\
\eq \frac{16}{65}
\e
\section*{問題3.}
2500
\section*{問題4.}
\subsection*{(1)}
\s
\pdv{f}{x} \ (x,y) \eq \frac{\frac{1}{2}・3・\frac{1}{\sqrt{3x + 2y}} (x^2 + y^2) - \sqrt{3x + 2y}・2x}{(x^2 + y^2)^2} \\
\pdv{f}{x} \ (1,-1) \eq \frac{1}{4}
\e
\newpage
\begin{flushright}
@serenn\_FT
\end{flushright}
\subsection*{(2)}
\s
\pdv{f}{y} \ (x,y) \eq \frac{\frac{1}{2}・2・\frac{1}{\sqrt{3x + 2y}} (x^2 + y^2) - \sqrt{3x + 2y}・2y}{(x^2 + y^2)^2} \\
\pdv{f}{x} \ (1,-1) \eq 1 \\
f(1,-1) \eq \frac{1}{2}
\e
接平面の方程式は
\[z = \frac{1}{4} (x-1) + (y+1) + \frac{1}{2}より\]
\[x + 4 y - 4 z + 5 = 0\]
\section*{問題5.}
不明(なんだこの問題......？)
\section*{問題6.}
-21
\section*{問題7.}
\[\dv{(x + y)}{t} = 3(x+y)より\]
\[x + y = 2 e^{3t} \ \ \because x(0) + y(0) = 2\]
これを2式目に代入すると
\[\dv{y}{t} = (2 e^{3t} - y) - y\]
これを解くと
\[y = \frac{2}{5} e^{3t} - \frac{7}{5} e^{-2t} \ \ \because y(0) = -1\]
\[x = 2e^{3t} - y = \frac{8}{5} e^{3t} + \frac{7}{5} e^{-2t}\]
以上より
\[x = \frac{8}{5} e^{3t} + \frac{7}{5} e^{-2t} , \ , y = \frac{2}{5} e^{3t} - \frac{7}{5} e^{-2t}\]
\end{document}
全体感想
1級2次は解ける気がしないうえに(本来1級1次も解ける気がしなかった)公式で模範解答があがっているので許してください......
準1級は正直よく分かりませんが、全体的に標準的な感じがします。焦点とか準線なんて覚えていませんが......あと毎回そうなのかもしれませんが複素数関連は特に知っていたら一瞬で解けるものが多いので知識は力なりですね。
1級1次は5.以外正直相当簡単なセットだと思います。(逆に5.は全く分からなかったです)
2次の難易度が分かりませんが、1次の負担が軽いのはまあ良いことだと思います。それでは楽しい数検ライフを、では。
