文系
大問1
まず二つの二次関数があり、問題文中に「交わる」、「接線は直交する」と書いてあることからまあ判別式やら接線の方程式を立ててゴリ押しすればいけるだろうと思いつつ、とりあえず平行移動した放物線の方程式を書いておく。
さすがにこの問題文からして放物線を平方完成させた式を使うことはほとんどないだろうと思いつつ念の為開いた式と平方完成された式、両方を書いておく。問題文を冷静に見てみると「一つの交点はC_p,qの頂点と書いてありと驚く、この時点でq=p^2が確定してしまうからだ。さすがに京大後期の問題がここまで簡単な問題なはずがないだろうと思いつつ二度見するが間違いはなさそうだ。とりあえずqにp^2を代入して二次方程式を解き、後は直交する条件に代入、-1<a<0という非常に簡潔な範囲が出てきて終わり おそらくサービス問題
大問2
問題文を見た瞬間あっ、これは…と思いつつtan1°無理数証明と似たようなやつだと半ば確信する。ということはおそらく解法も三角関数の合成を繰り返し用いたものとなるだろう。
(1)は正直自明感が強いので合成式と日本語を書いておく。問題は(2)だ。しかし上に書いた通り合成を繰り返し用いる、つまりこの問題の場合では例えばn=60/mとなるならばm回合成を用いれば良いわけだ。ともに有理数と仮定して段々畑のように倒していってsin60°=√3/2から矛盾を導く。
大問3
(1) これは与式から→OA•→OB=→OC•→ODを示して終わりだろう。(2)まあ要するに四角形AB'CD'が長方形であることを示せば良い。長方形の十分条件を思い出そう。まず簡単に思いつくのは全ての角がπ/2である。他には…対角線が等しいことかつ平行四辺形であることだ。(対角線が等しいだけだと等脚台形もこれを満たしているのでアウト)後者は示すのが相当骨が折れそうだ、前者ならかなり簡単だがそんなことを京大が許してくれるかどうか…と思っていると意外とあっさりと証明が終わった。…しかしここで暗雲が立ち込める。解答を見るとなんと「全ての角が直角であることを示すだけではこの四角形が同一平面上にあることを示せてないのでダメ」と書いてあった。そう、その通りである。どこにもこの四角形が同一平面上にあるという前提はないのだ。後者ならば少し骨は折れるが証明しつつ四角形が同一平面上にあることも示せる。おそらく自分の証明では(2)の半分の点数を貰えたら良いところだろう。
大問4
なんか画像を見る限りでは意味不明なことになっているが誤植であると信じたい…とりあえず三角形の和積の公式等を使ってゴリゴリ計算を進めていくが途中で挫折。
大問5
問題文を見た瞬間テミスの審判か！？っとなってしまうくらいにはシャドバに侵されてる。確率の問題なので相変わらず問題文が長い。しかし問題文中の数が定数なのは幸か不幸か…
とりあえずr=2〜5でそれぞれの場合で場合分けすることを考える。意外と全てあっさりと終わって足して終わり。期待値の定義さえ知っていれば履修していなくても解くことができる問題だろう。解答を見ると抽象化して解くこともできるようだが、自分には無理だった。
理系
大問1 文系の大問1に同じ
大問2
…つまりどういうことだってばよ。簡単に要約すると全て2n以下の自然数でありa1からどこまで足していっても平方数であるようだ。とりあえず文の理解はできたので(1)は解きたい。…解けない、いや本当にこの条件でこんなことが証明できるのか？と一瞬思ってしまってパス。解答を見るとあーこんなもん気づけねえ…って感じであった。
大問3 文系の大問3に同じ
大問4
全文字対称3元連立方程式ということで数オリを想起させられる。さすがに数オリほどの難易度でないことを祈って問題文を読む。といっても問題文は非常に短いので難しいということを察する。
(1)とりあえず自分は力技が好きなのでxのみの方程式を作ると1元8次方程式ができた、なんだこれは…たまげたなぁ。2x^2-1が1<xにおいて単調増加であり、1<2x^2-1ということを利用して証明したがこれで本当に良いのだろうか…証明に抜け目はないはずだが。あとはy,zにおいて同様である。
(2)この8次方程式が8個の解を持つことを…示せるはずないだろ！と思ってパス。解答を見る限りやはり(1)は正攻法で解くべきでした。
大問5
式が上手く立てられない…漸化式は立ったが漸化式の意味が分からず終わり。解答を見るとああなるほど…という感じだった
大問6
これはおそらくサービス問題なのでは…？と思いつつ計算を進める。ゴリ押しで解いていくと計算量はかなり多いものの解けないものではないことに気づく。(1)と(2)の関連性が解答を見るまでは意味不明だったが問題なく解き終わる。おそらくこれはチャートレベルだろう。
まとめ
文系 1〇 2〇 3(1)〇(2)△ 4×
理系 1〇 2× 3(1)〇(2)△ 4(1)〇(2)× 5× 6〇
全体的に自分にあともう少し実力があれば解けたのではないかという問題が多かった。かなり経験値は得られたと思う。
